已知数列{an}满足an+1=2anan+2，a2011=12011．求{an}的通项公式；若bn=4an-4023且cn=b2n+1+

题文

已知数列{a_n}满足an+1=2anan+2（n∈N^*），a2011=12011．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若bn=4an-4023且cn=b2n+1+b2n2bn+1bn(n∈N*)，求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，得1an+1=12+1an，即1an+1-1an=12 (n∈N*)，
∴数列{1an}是以1a1为首项，12为公差的等差数列．
1an=1a1+(n-1)×12=(n-1)a1+22a1，
∴an=2a1(n-1)a1+2…（4分）
又因为a2011=2a12010a1+2=12011
解得a1=11006
∴an=2×11006(n-1)×11006+2=2n+2011…（6分）
（2）证明：∵an=2n+2011，
∴bn=4×n+20112-4023=2n-1-------（7分）
∴cn=b2n+1+b2n2bn+1bn=(2n+1)2+(2n-1)22(2n+1)(2n-1)=4n2+14n2-1=1+2(2n-1)(2n+1)=1+12n-1-12n+1
∴c1+c2+…cn-n=(1+1-13)+(1+13-15)+…+(1+12n-1-12n+1)-n=1-12n+1＜1
故c₁+c₂+…+c_n＜n+1…（12分）

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1=2anan.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．