f对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=12．求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∉N)的值；数列{an}满足：an=f+f(

题文

f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=12．
（Ⅰ）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∉N)的值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令bn=44an-1，Tn=b21+b22+b23+…+b2n，Sn=32-16n．试比较T_n与S_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f(12) +f(1-12) =12，所以f(12) =14
令x=1n，得f(1n) +f(1-1n)  =12，即f(1n) +f(n-1n)=12
（Ⅱ）a_n=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)
又a_n=f（1）+f（n-1n）+…f（1n）+f（0）
两式相加 2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（1n+n-1n）]+[f（1）+f（0）]=n+12
所以a_n=n+14，n∈N
又an+1-an=n+1+14-n+14=14．故数列{a_n}是等差数列．
（Ⅲ）bn=44an-1=4nT_n=b₁²+b₂²++b_n²=16(1+122+132+…1n2)≤16[1+11×2+12×3+…1n(n-1)]
=16[1+(1-12)+(12-13)+…(1n-1-1n)]
=16(2-1n)=32-16n=Sn．所以T_n≤S_n

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．