已知函数f=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）求证：数列{1an}是等差数列；记Sn=xa1+x2a

题文

已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）
（1）求证：数列{1an}是等差数列；
（2）记S_n（x）=xa1+x2a2+…+xnan，求Sn（x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得：a_n+1=an3an+1，1an+1=3an+1an=3+1an
∴1an+1-1an=3
∴{1an}是首项为1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）得1an=1+（n-1）3=3n-2
∴S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
当x=1，S_n（1）=1+4+7+…+（3n-2）=1+3n-22•n=n(3n-1)2
当x≠1，0时，S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
xS_n（x）=x²+4x³+7x⁴+…+（3n-5）xⁿ+（3n-2）xⁿ⁺¹
（1-x）S_n（x）=x+（3x²+3x³+…+3xⁿ）-（3n-2）xⁿ⁺¹
=x+3x2(1-xn-1)1-x-(3n-2)xn+1
∴Sn(x)=x-(3n-2)xn+11-x+3x2(1-xn-1)(1-x)2=x(1-x)-(3n-2)xn+1(1-x)+3x2(1-xn-1)(1-x)2
=(3n-2)xn+2-(3n-2)xn+1+x-x2+3x2-3xn+1(1-x)2
=(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x(1-x)2
当x=0时，S_n（0）=0也适合．
综上所述，x=1，Sn(1)=n(3n-1)2
x≠1，S_n（x）=(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x(1-x)2．

解析

an3an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3x+1，数列{an.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．