在数列{an}中，若an2-an-12=p，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{an}是等方差数列，

题文

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

①因为{a_n}是等方差数列，所以a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p为常数）成立，
得到{a_n²}为首项是a₁²，公差为p的等差数列；
②因为a_n²-a_n-1²=（-1）²ⁿ-（-1）^2n-1=1-（-1）=2，所以数列{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③数列{a_n}中的项列举出来是：a₁，a₂，…，a_k，a_k+1，a_k+2，…，a_2k，…，a_3k，…
数列{a_kn}中的项列举出来是：a_k，a_2k，a_3k，…
因为a_k+1²-a_k²=a_k+2²-a_k+1²=a_k+3²-a_k+2²=…=a_2k²-a_k²=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=a_2k²-a_k²=kp，
类似地有a_kn²-a_kn-1²=a_kn-1²-a_kn-2²=…=a_kn+3²-a_kn+2²=a_kn+2²-a_kn+1²=a_kn+1²-a_kn²=p
同上连加可得a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，数列{a_kn}是等方差数列；
④{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a_n²-a_n-1²=p，且a_n-a_n-1=d（d≠0），所以a_n+a_n-1=pd，联立解得a_n=d2+p2d，
所以{a_n}为常数列，当d=0时，显然{a_n}为常数列，所以该数列为常数列．
综上，正确答案的序号为：①②③④
故答案为：①②③④

解析

pd

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，若an2-an-12=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．