设数列{an} 的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．求a1，a2，a3的值；求证：数列

题文

设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{aⁿ+2ⁿ}是等比数列
（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an＜32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁，a₂+5，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+5），①，
当n=1时，2a₁=a₂-3，②
当n=2时，2（a₁+a₂）=a₃-7，③
所以联立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．
（2）由2sn=an+1-2n+1+1，①得2sn-1=an-2n+1(n≥2)，②，
两式相减得2an=an+1-an_2n(n≥2)，所以an+1+2n+1an+2n=3an+2n+2n+1an+2n=3(n≥2)．
因为a2+22a1+2=3，所以{an+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．所以a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
所以a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（3）因为an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an，所以1an+1＜12⋅1an，
所以当n≥2时，1a3＜12⋅1a2，1a4＜12⋅1a3…1an＜12⋅1an-1，两边同时相乘得1an＜(12)n-2⋅1a2，
所以1a1+1a2+…+1an≤1+15+12×15+…+(12)n-2×15＜75＜32．

解析

an+1+2n+1an+2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an} 的前n项和为Sn，满足2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．