已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan．用n、k表示an；数列{bn}对n∈N*均有lga1+（bn+

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-ka_n（k＞0，n∈N^*）．
（1）用n、k表示a_n；
（2）数列{b_n}对n∈N^*均有（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）在（1）、（2）中，设k=1，b_n=n+1，x_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求证：x_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=1-ka_n，
∴S₁=a₁=1-ka₁，
∴a₁=1k+1
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（1-ka_n+1）-（1-ka_n），
∴a_n+1=ka_n-ka_n+1，即 （k+1）a_n+1=ka_n，
∵kk≠1解得a_n+1=kk+1a_n（1）
∵k＞0，a₁≠0，由（1）式易知a_n≠0，n≥1，
∴an+1an=kk+1
故该数列是公比为kk+1，首项为1k+1的等比数列，
∴a_n=1k+1×（kk+1）^n-1．
证明：（2）∵（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，
∴（b_n+1-b_n+2）lg1k+1+（b_n+2-b_n）lg[（1k+1×（kk+1）²]+（b_n-b_n+1）lg[（1k+1×（kk+1）⁴]=0…①
令lg1k+1=m，lgkk+1=n，则m，n均不为0
则①式可化为m（b_n+1-b_n+2）+（m+2n）（b_n+2-b_n）+（m+4n）（b_n-b_n+1）=0
即b_n+2+b_n=2b_n+1，
即数列{b_n}为等差数列；
（3）若k=1，a_n=1k+1×（kk+1）^n-1=（12）ⁿ，
又∵b_n=n+1，
∴x_n=12×2+(12)2×3+(12)3×4+…+(12)n（n+1）…①，
∴12x_n=(12)2×2+(12)3×3+…+(12)nn+(12)n+1（n+1）…②
①-②得12x_n=1+[(12)2+(12)3+…+(12)n]-(12)n+1（n+1）=32-n+32(12)n
∴x_n=3-（n+3）(12)n
∵（n+3）(12)n＞0
∴x_n＜3

解析

1k+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=1-ka.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．