定义一种运算△：n△m=n•am若数列{an}满足an=n△m，当m=2时，求证：数列{an}为等差数列；设数列{

题文

定义一种运算△：n△m=n•a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若数列{a_n}（n∈N^*）满足a_n=n△m，当m=2时，求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列{c_n}（n∈N^*）的通项满足c_n=n△（n-1），试求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题意知当m=2时，a_n=n△m=a²•n，
则有a_n+1=a²•（n+1）   （2分）
故有a_n+1-a_n=a²，（n∈N^*），其中a₁=1△2=a²，（3分）
所以数列{a_n}是以a₁=a²为首项，公差d=a²的等差数列．（4分）
（2）依题意有，c_n=n△（n-1）=n•a^n-1，（n∈N^*），（5分）
所以，当a=1时，Sn=c1+c2++cn=1+2+3++n=n(n+1)2；（7分）
当a≠1时，S_n=1•a⁰+2•a¹++（n-1）•a^n-2+n•a^n-1，（1）
所以aS_n=1•a¹+2•a²++（n-1）•a^n-1+n•aⁿ（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）S_n=1•a⁰+1•a¹++1•a^n-2+1•a^n-1-naⁿ（9分）
得：Sn=1-an(1-a)2-nan(1-a)(1-a)2=nan+1-nan-an+1(1-a)2，（n∈N^*）（11分）
综上所述，Sn=nan+1-nan-an+1(1-a)2，a≠1n(n+1)2，a=1（14分）

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“定义一种运算△：n△m=n•am（m，n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．