已知数列{an}满足2anan+2an+1(n∈N*)，且a1=11006．求证：数列{1an}是等差数列，并求通项an；若bn=2-2010ana

题文

已知数列{a_n}满足2anan+2an+1(n∈N*)，且a1=11006．
（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）若bn=2-2010anan，且cn=bn•(12)n(n∈N*)，求和T_n=c₁+c₂+…+c_n；
（Ⅲ）比较Tn与5n2n+1的大小，并予以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵2anan+2=an+1，an≠0⇒1an+1=1an+12
数列{1an}是首项为1a1，公差为12的等差数列，…（2分）
故1an=1a1+(n-1)•12=2+(n-1)a12a1
因为a₁=11006
所以数列{x_n}的通项公式为a_n=2a1(n-1)a1+2=2n+2011．（4分）
（Ⅱ）将a_n代入b_n可求得b_n=2-2010×2n+20112n+2011=n+1，
所以cn=bn•(12)n=(n+1)(12)n…（5分）
T_n=2×12+3×(12)2+4×(12)3+…+(n+1)(12)n①
12Tn=2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+…+(n+1)(12)n+1②…（7分）
由①-②得12Tn=1+(12)2+(12)3+…+(12)n-(n-1)(12)n+1
=1+14[1-(12)n-1]1-12-(n+1)(12)n+1=32-n+32n+1
∴T_n=3-n+32n…（9分）
（Ⅲ）T_n-5n2n+1=3-n+32n-5n2n+1=(n+3)(2n-2n-1)2n(2n+1)
于是确定T_n与5n2n+1的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小
当n=1时，T_n=3-n+32n=3-2=1，5n2n+1=53，T_n＜5n2n+1，
当n=2时，T_n=3-n+32n=3-54=74，5n2n+1=2，T_n＜5n2n+1，
当n=3时，2³=8＞2×3+1=7，
当n=4时，2⁴=16＞2×4+1=9，
…
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1…（11分）
证明如下：
（1）当n=3时，由上验算显示成立，
（2）假设n=k时成立，即2^k＞2k+1
则n=k+1时2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时猜想也成立
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1…（12分）
综上所述，当n=1，2时，T_n＜5n2n+1，
当n≥3时，T_n＞5n2n+1．…（13分）

解析

2anan+2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足2anan+2an+.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．