已知数列{an}的前n项和为Sn，正数数列{bn}中b2=e，且∀n∈N*总有2n-1是Sn与an的等差中项，bn+1是bn与b

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，正数数列{b_n}中b₂=e，（e为自然对数的底≈2.718）且∀n∈N^*总有2^n-1是S_n与a_n的等差中项，bn+1是bn与bn+1的等比中项．
（1）求证：∀n∈N^*有an＜an+1＜2n；
（2）求证：∀n∈N^*有32(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵2^n-1是S_n与a_n的等差中项，∴2ⁿ=S_n +a_n，∴S_n=2ⁿ-a_n，∴a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1．
由S_n=2ⁿ-a_n，可得 s_n+1=2ⁿ⁺¹-a_n+1，想减可得 a_n+1=s_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-a_n+1+a_n．
化简可得 2a_n+1=2ⁿ+a_n．
变形可得 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n =4ⁿ，故数列{ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n }构成等比数列，
故它的前n项和为 （ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n ）+（2ⁿa_n-2^n-1a_n-1）+…+（2²a₂-2a₁）=4ⁿ+4^n-1+…+4=43(4n-1)，
即 a_n+1=13•2n+1+13•12n，故 a_n=13•2n+13•12n-1．
∴a_n+1-2ⁿ=13（12n-2n）＜0，a_n+1-a_n=（ 13•2n+1-13•12n+1）-（13•2n-13•12n）=16（2ⁿ⁺¹-12n-1）＞0，
∴an＜an+1＜2n成立．
（2）证明：由（1）得bn+1是bn与bn+1的等比中项，∴b_n+1=b_n （b_n+1）．再由b₂=e，b_n＞0，∴b₁=-1+1+4e2．
∵a_n=13•2n+13•12n-1，32(an-1)=2^n-1-12n-32≤2^n-1-1，
3a_n -1=3（13•2n+13•12n-1）-1=2n+12n-1-1＞2ⁿ-1．
要证32(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1，只要证 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1即可．
∵bn+1是bn与bn+1的等比中项，等价于 bn+1=b2n+bn．
∵4e＞8，∴b₁＞-1+92=1，b₁+1=eb1＜e．
∴lnb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故当n=1时，所证的不等式成立．
当n≥2时，bn+1=b2n+bn＞b2n，∴lnb_n+1＞2lnb_n．
∴lnb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥32(an-1)．
再由 ln（b_n+1+1）=ln（b2n+bn+1）＜ln（ b2n+bn+1+b_n）=ln(bn+1)2=2ln(bn+1)  可得
 ln（b_n+1）＜2ln（b_n-1+1）＜2²ln（b_n-2+1）＜…＜2^n-1 ln（b₁+1）＜2^n-1．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜ln（b₁+1）+ln（b₂+1）+…+ln（b_n+1）＜1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1＜3a_n -1．
综上所述，总有32(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1成立．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，正数数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．