记等差数列{an}的前n项和为Sn．求证：数列{Snn}是等差数列；若a1=1，且对任意正整数n，k，都有Sn+k+Sn-k=2Sn成立，

题文

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列{Snn}是等差数列；
（2）若a₁=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有Sn+k+Sn-k=2Sn成立，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=aan（a＞0），求证：b1+b2+…+bnn≤b1+bn2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列{a_n}的公差为d，（1）由于Sn=na1+n(n-1)2d，从而Snn=a1+n-12d，
所以当n≥2时，Snn-Sn-1n-1=(a1+n-12d)-(a1+n-22d)=d2，
即数列{Snn}是等差数列．
（2）∵对任意正整数n，k（n＞k），都有Sn+k+Sn-k=2Sn成立，
∴Sn+1+Sn-1=2Sn，即数列{Sn}是等差数列，设其公差为t，
则Sn=S1+(n-1)t=1+(n-1)t，所以Sn=[1+(n-1)t]2，
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[1+（n-1）t]²-[1+（n-2）t]²=2t²n-3t²+2t，
又由等差数列{a_n}中，a₂-a₁=a₃-a₂，即（4t²-3t²+2t）-1=（6t²-3t²+2t）-（4t²-3t²+2t）
所以t=1，即a_n=2n-1．
（3）由于a_n=a₁+（n-1）d，bn=aan，则bn+1bn=aan+1-an=ad，
即数列{b_n}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q（q＞0）．
以下证明：b₁+b_n≥b_p+b_k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．
∵（b₁+b_n）-（b_p+b_k）=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)(qk-1-1)，
当q＞1时，因为y=q^x为增函数，p-1≥0，k-1≥0，
∴q^p-1-1≥0，q^k-1-1≥0，∴b₁+b_n≥b_p+b_k；
当q=1时，b₁+b_n=b_p+b_k；
当q=1时，因为y=q^x为减函数，p-1≥0，k-1≥0，
∴q^p-1-1≤0，q^k-1-1≤0，∴b₁+b_n≥b_p+b_k，
综上：b₁+b_n≥b_p+b_k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．
∴n（b₁+b_n）=（b₁+b_n）+（b₁+b_n）+…（b₁+b_n）≥（b₁+b_n）+（b₂+b_n-1）+…（b_n+b₁）
=（b₁+b₂+…+b_n）+（b_n+b_n-1+…+b₁），
即b1+b2+…+bnn≤b1+bn2．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“记等差数列{an}的前n项和为Sn．（1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．