设抛物线C：y2=2px的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；若直线AB的方向向量为n=

题文

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的方向向量为n=(1，2)，当焦点为F(12，0)时，求△OAB的面积；
（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设A（x₀，y₀），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意x=x0+12y=y02，即x0=2x-1y0=2y…2分
所求的轨迹方程为4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，F(12，0)，直线y=2(x-12)=2x-1，…5分
由y2=2xy=2x-1得，y²-y-1=0，|AB|=1+1k2|y1-y2|=52…7分
d=15，…8分
S△OAB=12d|AB|=54…9分
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k₁、k₂、k₃．
点A、B、M的坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-p2，m)．
设直线AB：y=k(x-p2)，代入抛物线得y2-2pky-p2=0，…11分
所以y1y2=-p2，…12分
又y12=2px1，y22=2px2，
因而x1+p2=y122p+p2=12p(y12+p2)，x2+p2=y222p+p2=p42py12+p2=p2y12(y12+p2)
因而k1+k2=y1-mx1+p2+y2-mx2+p2=2p2(y1-m)p(y12+p2)+2y12(-p2y1-m)p(y12+p2)=-2mp…14分
而2k3=0-mp2-(-p2)=-2mp，故k₁+k₂=2k₃．…16分．

解析

x=x0+12y=y02

考点

据考高分专家说，试题“设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．