已知数列{an}中a1=2，an+1=2-1an，数列{bn}中bn=1an-1，其中n∈N*．求证：数列{bn}是等差数列；设Sn是数列{13bn

题文

已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-1an，数列{b_n}中bn=1an-1，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{13bn}的前n项和，求1S1+1S2+…+1Sn；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (13)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）bn+1=1an+1-1=11-1an=anan-1，而 bn=1an-1，
∴bn+1-bn=anan-1-1an-1=1．n∈N^*
∴{b_n}是首项为b1=1a1-1=1，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，13bn=13n． ∴Sn=13(1+2+…+n)=n(n+1)6，
于是1Sn=6n(n+1)=6(1n-1n+1)，
故有1S1+1S2+…+1Sn=6(1-12+12-13+…+1n-1n+1)
=6(1-1n+1)=6nn+1．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知 (13)n•bn=n•(13)n，
则Tn=1•13+2•(13)2+…+n•(13)n．∴13Tn=1•(13)2+2•(13)3+…+(n-1)(13)n+n•(13)n+1．
则 23Tn=13+(13)2+(13)3+…+(13)n-n•(13)n+1=12[1-(13)n]-n•(13)n+1，
∴T_n=34-14(13)n-1-n2•(13)n＜34．     （14分）

解析

1an+1-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中a1=2，an+1=2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．