设Tn为数列{an}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)设bn=1Tn，求证：数列{bn}是等差数列；设cn=2n•bn，求证数列{cn}的

题文

设T_n为数列{a_n}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)
（1）设bn=1Tn，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设cn=2n•b_n，求证数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设An=Te1+Te2+…Ten，求证：an+1-12＜An≤-14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵T_n=1-a_n，an=TnTn-1，n≥2，
∴Tn=1-TnTn-1，从而1Tn-1Tn-1=1，（n≥2）
∴b_n-b_n-1=1，（n≥2）
∵T₁=a₁=1-a₁，
∴a1=12，b1=1T1=1a1=2，
∴{b_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，从而c_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+4(1-2n-1)1-2-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
（3）∵Tn=1bn=1n+1，
∴n≥2时，an=TnTn-1=nn+1，
∵a1=12，∴an=nn+1，n∈N* ，
An=T12+T22+…+Tn2
=122+132+…+1(n+1)2
＞12×3+13×4+…+1(n+1)(n+2)
=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2
=12-1n+2
=an+1-12，
∴An＞an+1-12，
又∵当n≥2时，An=T12+T22+…+Tn2
=122+132+…+1(n+1)2
=122+132+…+1(n+1)2＜122+12×3+13×4+…+1n(n+1)
=122+12-13+13-14+…+1n-1n+1
=14+12-1n+1=an-14，
an+1-12＜An≤-14．

解析

TnTn-1

考点

据考高分专家说，试题“设Tn为数列{an}的前n项乘积，满足T.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．