设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点在函数f=x2+x的图象上．求an的表达式；设An为数列{1(an-1)(an+

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上．
（1）求a_n的表达式；
（2）设An为数列{1(an-1)(an+1)}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上，
∴S_n=n²+n．
a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n（n=1时也成立）．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）An=1(a1-1)(a1+1)+1(a2-1)(a2+1)+…+1(an-1)(an+1)
=11•3+13•5+…+1(2n-1)(2n+1)=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)＜12．
依题意，只要a≥12即可，故a的取值范围是[12，+∞)．
（3）数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b₁₀₀是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b₂，b₄，b₆，…，b₁₀₀，…组成一个首项b₂=4+6=10，公差d=12
的等差数列． 
所以b₁₀₀=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求b_n的值．
数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N^*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20． 
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．  
且b₄=14+16+18+20=68．
当n=4k时，b_n=68+80（k-1）=20n-12．

解析

1(a1-1)(a1+1)

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．