数列{an}中，Sn是前n项的和，且Sn=2an-3n求an{an}中是否存在三项，使它们构成等差数列？若存在，求出这三项，若不存在，说明理由．

题文

数列{a_n}中，S_n是前n项的和，且S_n=2a_n-3n
（1）求a_n
（2）{a_n}中是否存在三项，使它们构成等差数列？若存在，求出这三项，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=2a_n-3n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
∴S_n-S_n-1=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，即a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
∴an+3an-1+3=2（n≥2），
又a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
∴数列{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-3；
（2）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，
∴2a_p=a_s+a_r，
∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，
∴2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，
又∵1+2^r-s为奇数，
∴2^p+1=2^s+2^r不成立，
∴不存在满足条件的三项，
故{a_n}中不存在三项，使它们构成等差数列．

解析

an+3an-1+3

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，Sn是前n项的和，且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．