题文
（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列.
（1） 若
，是否存在
，有
说明理由；
（2） 找出所有数列
和
，使对一切
,
,并说明理由；
（3） 若
试确定所有的
，使数列
中存在某个连续
项的和是数列
中的一项，请证明. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由
， ……2分
整理后，可得
，
，
为整数，
不存在
，使等式成立. ……5分
（2）解法一 若
即
， （*）
（i）若
，
当
为非零常数列，
为恒等于1的常数列，满足要求.……7分
（ii）若
，（*）式等号左边取极限得
（*）式等号右边只有当
时，才可能等于1，此时等号左边是常数，
，矛盾.
综上所述，只有当
为非零常数列，
为恒等于1的常数列，满足要求. ……10分
解法二 设
，若
，对
都成立，且
为等比数列，则
，对
都成立，即
，
，对
都成立，
……7分
（i）若
，
.
（ii）若
，则
综上所述，
，使对一切
，
. ……10分
（3）
，
设
，
，
，
……13分
取
，……15分
由二项展开式可得整数
，使得
，
存在整数
满足要求.
故当且仅当
，命题成立. ……18分
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若
为偶数，则
为偶数，但
为奇数.
故此等式不成立，
一定为奇数. ……1分
当
，
而
当
为偶数时，存在
，使
成立， ……1分
当
，
也即
，
，
由已证可知，当
为偶数即
为奇数时，存在
，
成立，……2分
当
，
也即
，而
不是5的倍数，
当
所要求的
不存在，
故不是所有奇数都成立. ……2分
解析
⑴知道了数列通项，可以把
表达出来，因为
，看
是否满足条件；
⑵写出两个数列的通项，根据公差的取值进行讨论；
⑶由题意可知，数列的通项可以确定，设连续的
项的的首项
，可以求出这
项的和，让其等于数列
的第k项，建立方程，因为
，从这里入手进行计算.
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分18分）本题共有3个小题，第1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
