已知在数列｛an｝中，a1=t，a2=t2，其中t>0，x=是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1 (n≥2)的一个

题文

（14分）已知在数列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=

是函数f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1   (n≥2)的一个极值点（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式
（Ⅱ）当

时，令

，数列

前

项的和为

，求证：




（Ⅲ）设

，数列

前

项的和为

，

求同时满足下列两个条件的

的值：（1）

 （2）对于任意的

，均存在

，当

时，

题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ） 

解析

：（Ⅰ）由题意得：f′(

)="0 " 即3a_n-1t-3[(t+1)a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t(a_n-a_n-1)(n≥2)      则当t≠1时，数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项          t为公比的等比数列  ∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1 由a_n+1-a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)         =t+(t²-t)[1+t+t²+…+t^n-2] =t+(t²-t)·

 =tⁿ此式对t=1也成立∴a_n=tⁿ (n∈N

)


（Ⅱ）

    


（Ⅲ） （1）当

时，由Ⅱ得





取

，当

时，


（2）当

时，

，所以




 
取

因为

，不存在

，使得当

时，


（3）当

时，



，




，由（1）可知存在

，当

时


，故存在

，当

时，







综上，

考点

据考高分专家说，试题“（14分）已知在数列｛an｝中，a1=t.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．