设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式:3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证: 数列{an}是等比数列；

题文

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式:3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求证: 数列{a_n}是等比数列；
(2)设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n}，使b₁=1,b_n=f(

)(n=2,3,4…)，求数列{b_n}的通项b_n；
(3)求和: b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)证明略 (2) b_n=1+

(n－1)=

 (3) b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1－

 (2n²+3n)

解析

(1)由S₁=a₁=1,S₂=1+a₂，得3t(1+a₂)－(2t+3)=3t.
∴a₂=

.
又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t，                                ①
3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t                                ②
①－②得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0

 
∴

,n=2,3,4…,
所以{a_n}是一个首项为1公比为

的等比数列；
(2)由f(t)=

=

,得b_n=f(

)=

+b_n－1.
可见{b_n}是一个首项为1，公差为

的等差数列.
于是b_n=1+

(n－1)=

;
(3)由b_n=

,可知
{b_2n－1}和{b_2n}是首项分别为1和

，公差均为

的等差数列，
于是b_2n=

,
∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1
=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)
=－

 (b₂+b₄+…+b_2n)=－

·

n(

+

)=－

 (2n²+3n).

考点

据考高分专家说，试题“ 设数列{an}的首项a1=1，前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．