已知数列{an}满足条件: a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).(1)

题文

已知数列{a_n}满足条件: a₁=1,a₂=r(r＞0),且{a_na_n+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设b_n=a_2n－1+a_2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3(n∈N^*)成立的q的取值范围；
(2)求b_n和

，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；
(3)设r=2^19.2－1，q=

，求数列{

}的最大项和最小项的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 0＜q＜

; (2)

 (3) {C_n}的最大项C₂₁=2.25，最小项C₂₀=－4

解析

(1)由题意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.
由题设r＞0,q＞0,故从上式可得

 q²－q－1＜0，解得

＜q＜

,因q＞0,故0＜q＜

;
(2)∵

.
b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而b_n=(1+r)q^n-1. 
当q=1时，S_n=n(1+r),









 













,从上式可知，
当n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)时，C_n随n的增大而减小，
故1＜C_n≤C₂₁=1+

=2.25                  ①
当n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)时，C_n也随n的增大而减小，
故1＞C_n≥C₂₀=1+

=－4                    ②
综合①②两式知，对任意的自然数n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,
故{C_n}的最大项C₂₁=2.25，最小项C₂₀=－4。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足条件: a1=1,a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．