设An为数列{an}的前n项和，An=(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与{bn}的公共

题文

设A_n为数列{a_n}的前n项和，A_n=

 (a_n－1)，数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3;
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)把数列{a_n}与{b_n}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明:数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹;
(3)设数列{d_n}的第n项是数列{b_n}中的第r项，B_r为数列{b_n}的前r项的和；D_n为数列{d_n}的前n项和，T_n=B_r－D_n，求





  题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n=3ⁿ (2)证明略(3)

解析

(1)由A_n=

(a_n－1)，可知A_n+1=

(a_n+1－1)，
∴a_n+1－a_n=

 (a_n+1－a_n)，即

=3，而a₁=A₁=

 (a₁－1)，得a₁=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a_n}的通项公式a_n=3ⁿ.
(2)∵3²ⁿ⁺¹=3·3²ⁿ=3·(4－1)²ⁿ
=3·［4²ⁿ+C

·4^2n－1(－1)+…+C

·4·(－1)+(－1)²ⁿ］=4n+3，
∴3²ⁿ+1∈{b_n}.
而数3²ⁿ=(4－1)²ⁿ
=4²ⁿ+C

·4^2n－1·(－1)+…+C

·4·(－1)+(－1)²ⁿ=(4k+1)，
∴3²ⁿ

{b_n}，而数列{a_n}={a_2n+1}∪{a_2n}，∴d_n=3²ⁿ⁺¹.
(3)由3²ⁿ⁺¹=4·r+3，可知r=

，
∴B_r=

，

考点

据考高分专家说，试题“设An为数列{an}的前n项和，An=(.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．