设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0.(1)证明:{an}是等差数列. (2)证明:以(an,－1)为

题文

设数列{a_n}的前n项和S_n=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0.
(1)证明:{a_n}是等差数列.
(2)证明:以(a_n,

－1)为坐标的点P_n(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.
(3)设a=1,b=

,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)证明略(2)证明略(3)r的取值范围是(0，1)∪(1,

－

)∪(4+

,+∞)

解析

 由条件，得a₁=S₁=a,当n≥2时，
有a_n=S_n－S_n－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.
因此，当n≥2时，有a_n－a_n－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.
所以{a_n}是以a为首项，2b为公差的等差数列.
(2)证明:∵b≠0,对于n≥2,有


∴所有的点P_n(a_n,

－1)(n=1,2,…)都落在通过P₁(a,a－1)且以

为斜率的直线上。 此直线方程为y－(a－1)=

 (x－a),即x－2y+a－2=0.
(3)解: 当a=1,b=

时，P_n的坐标为(n,

),使P₁(1,0)、P₂(2,

)、P₃(3,1)都落在圆C外的条件是


 

                  
由不等式①,得r≠1
由不等式②，得r＜

－

或r＞

+


由不等式③，得r＜4－

或r＞4+


再注意到r＞0,1＜

－

＜4－

=

+

＜4+


故使P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,

－

)∪(4+

,+∞).

考点

据考高分专家说，试题“ 设数列{an}的前n项和Sn=na+n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．