某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.若扣除投资及各种经费，则从第

题文

某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案: ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）从第三年开始获利，（2）比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.

解析

 由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)=50n–［12n+

×4］–72=–2n²+40n–72
(1)获纯利润就是要求f(n)>0,∴–2n²+40n–72>0，解得2<n<18. 由n∈N知从第三年开始获利.
（2）①年平均利润=

=40–2(n+

)≤16.当且仅当n=6时取等号. 故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6,②f(n)=–2(n–10)²+128.
当n=10时，f(n)|_max="128." 故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.
故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.

考点

据考高分专家说，试题“某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．