题文
已知数列
满足递推关系式：
，
.
（1）若
，证明：（ⅰ）当
时，有
；（ⅱ）当
时，有
.
（2）若
，证明：当
时，有
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明略解析
因为
，故
，即数列
为递增数列.
（1）（ⅰ）由
及
可求得
，于是当
时，
，于是
，即当
时，
.
…………………………5分
（ⅱ）由于
时，
，所以
时，
.
由
可得
.
先用数学归纳法证明下面的不等式成立：
（
）.
Ⅰ）当
时，
，结论成立.
Ⅱ）假设结论对
成立，即
，则结合（ⅰ）的结论可得
，即当
时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式
对一切
都成立.
因此，当
时，
，即
.
又
，
，所以当
时，有
.
…………………………10分
（2）由于
，而数列
为递增数列，故当
时，有
.
由
可得
，而
，于是
.
下面先证明：当
时，有
（*）
Ⅰ）根据
及
计算易得
，
，而
，
故
，即当
时，结论成立.
Ⅱ）假设结论对
成立，即
.
因为
，而函数
在
时为增函数，所以
，
即当
时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式
对一切
都成立.
于是当
时，
，故
，所以
.
…………………………20分
考点
据考高分专家说，试题“ 已知数列满足递推关系式：，.（1）若，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
