题文
(本小题满分14分) 已知函数
及正整数数列
. 若
,且当
时,有
; 又
,
,且
对任意
恒成立. 数列
满足:
.
(1) 求数列
及
的通项公式;
(2) 求数列
的前
项和
；
(3) 证明存在
，使得
对任意
均成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
，
， (2) 当
时，
．这时数列
的前
项和
， (3) 存在
，使得
对任意
均成立
解析
(1) 由
得：
.因为
是正整数列,所以
.于是
是等比数列. 又,
, 所以
.
因为
,所以
,于是:
,说明
是以2为公比的等比数列. 所以
因为
, 由题设知：
，解得：
。
又因为
且
，所以
。
于是
。
(2) 由
得：
.由
及
得：
设
①
②
当
时，①式减去②式, 得
于是,
这时数列
的前
项和
．
当
时，
．这时数列
的前
项和
．
(3) 证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
③
由
知
，要使③式成立，只要
，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在
，使得
对任意
均成立．
考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分14分) 已知函数及正整数数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
