题文
设数列｛a
｝的首项a
=1,前n项和S
满足关系式：3tS
-(2t+3)S
=3t(t>0,n=2,3,4…).(1)求证：数列｛a
｝是等比数列；(2)设数列｛a
｝的公比为f(t),若数列｛b
｝满足：b
=1,b
=f(
)(n=2,3,4…),求
;(3) 对于（2）中的数列｛b
｝，求b
b
-b
b
+b
b
-…+(-1)
b
b
的和。 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)
（Ⅲ）b
b
-b
b
+b
b
-…+(-1)
b
b
=
解析
：(1)由S= a
=1，S
= a
+a
=1+a
,
3t(1+a
)-(2t+3)=3t,∴a
=
∴
=
又3tS
-(2t+3)S
=3t，3tS
-(2t+3)S
=3t两式相减
得3ta
-(2t+3)a
="0" ∴
=
( n=,3,4…)
∴｛a
｝是首项a
=1,公比为
等比数列.
(2)∵f(t)=
=
+
,∴b
=f(
)=
+b
｛b
｝是首项为1,公差为
的等差数列，∴b
=1+
(n-1)=
又由(1)知a
=(
)
,lga
=(n-1)lg
=
=
(3) 由b
=
,可知｛b
｝，｛b
｝分别是首项为1和
,公差均为
的等差数列，∴b
=
，b
=
当n="2m(m=1,2,3," …)时,
b
b
-b
b
+b
b
-b
b
+…+b
b
-b
b
=b
(b
-b
)+b
(b
-b
)+…+b
(b
-b
)=-
(b
+b
+…+b
)
=-
=-
=-
当n="2m-1(m=1,2,3," …)时,
b
b
-b
b
+b
b
-b
b
+…-b
b
+b
b
=-
+ b
b
=-
+
=
=
∴b
b
-b
b
+b
b
-…+(-1)
b
b
=
考点
据考高分专家说，试题“设数列｛a｝的首项a=1,前n项和S满足.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
