题文
设定义在[0，2]上的函数![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/e80961be1d7ea95ad69ef77136d8cf77.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
满足下列条件：
①对于
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，总有
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，且
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，
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；
②对于
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，若
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，则
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．
证明：（1）
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（
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/b2856185e8137d4c9e2efe32e7d96c17.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
）；（2）
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时，
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． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明略解析
由知，函数
图像关于直线
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/b564642d6796d885267f63eddda697c8.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
对称，则根据②可知：对于
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，若
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，则
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．……………2分
设
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，且
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，则
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/6bfa3169cdec3ce9b3c47df6e07bb255.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
．
∵
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/6cd64e03f27712694971ea63c2de5135.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/302012d6c3ca23fcae70526f082da89b.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
,
∴
在[0，1]上是不减函数．………………………………………………4分
（1）∵
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/cf62bb9e616c347b745ecc831af2916f.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
,
∴
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/68ba89d11751acc91096583272a2e8ce.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/906ed184e9c84e19e54c35e941574581.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
．…………………………………………………………8分
（2）对于任意
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/a6c664c01689b9839665e97c4e0f9e74.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，则必存在正整数
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/60c967464e5de0d7a14657c944b2def8.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，使得
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/09b704614abc1237f5fa93c5fc79625a.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
.
因为
在（0，1）上是不减函数，所以
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/c8c40b157d17d77dd013f86ca0de827f.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，
由（1）知
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/27d2e0d3ab1e6440b3d06fb8be6af8b9.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
.
由①可得
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/7cddd3cd76d9567e81c6366cb99fd5ee.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，在②中，令
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/70bec68acc581023e07d0f599decf2ea.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，得
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/2b0b22ca3bb36b3ebfc95c97c6db84fa.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，∴
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/d15b3694290ce1442d424aaf9d0775c0.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
．
而
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/5214c56f60df0d37793a5c82b0d76e8d.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，∴
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/c94fd6255e612d1fa476ae135be035db.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，又
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/b1a3fd9616e31bdc24e1f0faa3d69ade.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，∴
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/07e0d1412d36070c7e8b332f23b67367.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，
∴
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/a6b71680ebbd0c04fb4792ac0655c8fd.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
时，
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/99ed2ae4b0cebf0fdaa3e8c0cb867992.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
．.………………………………………12分
∵
时，
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/3fade57e272f764c144197986e784815.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，且
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/a045355b8399b62f7beeba121f66d350.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，∴
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/9ebbddddaab158c273755348abf8eecb.gif "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
，
因此，
时，
．…………………….………….14分
考点
据考高分专家说，试题“ 设定义在[0，2]上的函数满足下列条件.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/Fm6izLwc9bAiAxdfnEvsA__cNmvF.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/FgXXa1ndu0kaZcmR1rO4xw1Hdtvo.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/Fky-ku52Q1_OfuqrLtI2nNMSajyd.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/Fu-fb3p2b7fHXI72eXZk_gZ1z5NK.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
（8）![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/FkyARGhOjCgNbVM9MU_JnDmnghuS.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
仍为等差数列，公差为![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/FuwMFbeh12S9Gx9UjVxRjKCXTWTx.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/Fr04N_PmFlhvGm49X2LhLBzpTIkO.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
还有![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/FtriQRZm5RZkUYsdkuj30okcPZnS.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④![设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20210918/FqPsXU4ljd0MU42mIFPQXeZElaNO.jpg "设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：；时，．")
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
