数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).求数列{an}的通项an;求数列{nan}的前n项和Tn.

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n(n∈N^*).
（1）求数列{a_n}的通项a_n;
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解析

（1）∵a_n+1=2S_n,∴S_n+1-S_n=2S_n,∴

=3.
又∵S₁=a₁=1,
∴数列{S_n}是首项为1、公比为3的等比数列，
S_n=3^n-1(n∈N^*).
当n≥2时，a_n=2S_n-1=2·3^n-2(n≥2),
∴a_n=


（2）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n.
当n=1时，T₁=1;
当n≥2时，T_n=1+4·3⁰+6·3¹+…+2n·3^n-2,                            ①
3T_n=3+4·3¹+6·3²+…+2n·3^n-1,                                   ②
①-②得：
-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n·3^n-1
=2+2·

-2n·3^n-1
=-1+(1-2n)·3^n-1.
∴T_n=

+

·3^n-1(n≥2).
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴T_n=

+3^n-1(n-

) (n∈N^*).

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．