已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2，a1=2.求数列{an}的通项公式；设bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n

题文

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

,T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有T_n＞

恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=2·2^n-1=2ⁿ（2）存在最大正整数k=5使T_n＞

恒成立

解析

（1）由已知a_n=S_n-1+2                                            ①
得a_n+1=S_n+2                                               ②
②-①，得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1 (n≥2),
∴a_n+1=2a_n (n≥2).
又a₁=2,∴a₂=a₁+2=4=2a₁,
∴a_n+1=2a_n (n=1,2,3,…)
所以数列{a_n}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2·2^n-1=2ⁿ.
(2)b_n=

=

=

,
∴T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n=

+

+…+

,
T_n+1=b_n+2+b_n+3+…+b_2(n+1)
=

+

+…+

+

+

.
∴T_n+1-T_n=

+

-


=


=

.
∵n是正整数，∴T_n+1-T_n＞0，即T_n+1＞T_n.
∴数列{T_n}是一个单调递增数列，
又T₁=b₂=

，∴T_n≥T₁=

,
要使T_n＞

恒成立，则有

＞

,即k﹤6,
又k是正整数，故存在最大正整数k=5使T_n＞

恒成立.

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是数列{an}的前n项和，且an.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．