已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+n，试求出数列{|an|}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=-

n²+

n，试求出数列{|a_n|}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

a₁=S₁=-

+

=101．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-3n+104．
∵a₁也适合a_n=-3n+104，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=-3n+104（n∈N^*）．
由a_n=-3n+104≥0，得n≤34.7，即当n≤34时，a_n>0；当n≥35时，a_n＜0．
（1）当n≤34时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-

n²+

n．
（2）当n≥35时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₃₄|+|a₃₅|+|a₃₆|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₃₄）-（a₃₅+a₃₆+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₃₄）-（a₁+a₂+…+a_n）
=2S₃₄-S_n
=2（-

×34²+

×34）-（-

n²+

n）
=

n²-

n+3 502．
故T_n=

解析

对于带绝对值号的数列求和问题，应先弄清n取什么值时a_n>0或a_n<0，然后求解．本题的易错点在于对n在什么范围内取值时a_n>0或a_n<0的讨论．应注意的是当n≥35时，|a_n|=-a_n也是一个等差数列，在这种情况下如何求和的问题要掌握好．由S_n=-

n²+

n，知S_n是关于n的常数项为0的二次式，所以{a_n}是等差数列，进而求出通项a_n，然后再判断哪些项为正的，哪些项为负的，最后求出T_n．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．