在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点的个数为.求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；设

题文

在平面直角坐标系上，设不等式组

（

）
所表示的平面区域为

，记

内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为

.
（Ⅰ）求

并猜想

的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列

的前

项和为

，数列

的前

项和

,是否存在自然数m？使得对一切

，

恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

，

，

，

＝3n，（Ⅱ）满足题设的自然数m存在，其值为0

解析

（Ⅰ）当n＝1时，D₁为Rt△OAB₁的内部包括斜边，这时



，
当n＝2时，D₂为Rt△OAB₂的内部包括斜边，这时



，
当n＝3时，D₃为Rt△OAB₃的内部包括斜边，这时



，……， ---3分


由此可猜想

＝3n。 --------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
(1)当n＝1时，猜想显然成立。
(2)假设当n＝k时，猜想成立，即

，（

） ----5分
如图，平面区域

为Rt

内部包括斜边、平面区域

为
Rt△

内部包括斜边，∵平面区域

比平面区域

多3
个整点， ------- 7分            
即当n＝k+1时，

，这就是说当n＝k+1时，
猜想也成立，
由（1）、（2）知

＝3n对一切

都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵

＝3n,  ∴数列

是首项为3，公差为3的等差数列,
∴

.


  -------------------------10分





=

=

 -------------------------------11分
∵对一切

，

恒成立,  ∴


∵

在

上为增函数 ∴

 ---13分


，满足

的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 -------------------------14分

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系上，设不等式组（）所表示.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．