已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．求a的值；若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值

题文

已知等差数列

的首项为a，公差为b，等比数列

的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且

．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的

，总存在

，使得

成立，求b的值；
（3）令

，问数列

中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）2（2）5（3）当

时，不存在连续三项成等比数列；当

时，数列

中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．

解析

（1）由已知，得

．由

，得

．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又

，故b≥3．再由

，得 

．
由

，故

，即

．
由b≥3，故

，解得

． 于是

，根据

，可得

．
（2）由

，对于任意的

，均存在

，使得

，则


．
又

，由数的整除性，得b是5的约数．
故

，b=5．
所以b=5时，存在正自然数

满足题意．
（3）设数列

中，

成等比数列，由

，

，得


．
化简，得

．    （※） 
当

时，

时，等式（※）成立，而

，不成立．
当

时，

时，等式（※）成立．当

时，

，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．
综上所述，当

时，不存在连续三项成等比数列；当

时，数列

中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．