把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数.设表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数. （Ⅰ

题文

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第

行共有

个正整数.设

（i、j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数.



（Ⅰ）若

＝2010，求i和j的值；
（Ⅱ）记



N*)，试比较

与



的大小，并说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）i＝11,


（Ⅱ）当

，2，3时,

  当

时，

解析

（Ⅰ）因为数表中前i－1行共有

个数，则第i行的第一个数是

，所以

                                 （2分）
因为

，

＝2010，则i－1＝10，即i＝11．             （4分）
令

，则

.           （5分）
（Ⅱ）因为

，则



N*).          （6分）
所以



.
所以

.      （7分）
检验知，当

，2，3时，

，即

.      （8分）
猜想：当

时，

.               （9分）
证法一：当

时,










. （12分）
综上分析，当

时，

；当

时，



.   （13分）
证法二：①当

时，

，所以

成立. （10分）
②假设当

时，不等式成立，即

.
则

.
因为

，
所以

，即当

时，猜想也正确.
由①、②得当

时,

成立.
综上分析，当

时，

；当

时，



.       （13分）

考点

据考高分专家说，试题“把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．