小问6分.小问6分）设各项均为正数的数列{an}满足.若求a3,a4,并猜想a2008的值；若对n≥2恒

题文

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）
设各项均为正数的数列{a_n}满足

.
（Ⅰ）若

求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）；
（Ⅱ）若

对n≥2恒成立，求a₂的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）见解析。
（Ⅱ）

解析

本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识，考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。
（I）因





由此有

，故猜想

的通项为



从而


(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.则

，故只需求x₂的值。
设S_n表示x_n的前n项和，则a₁a₂…a_n=

,由2

≤a₁a₂…a_n＜4得


≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2    (n≥2).
因上式对n=2成立，可得

≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥

.
由于a₁=2，

(n∈N*),得

(n∈N*),即


，
因此数列｛x_n+1+2x_n｝是首项为x₂+2,公比为

的等比数列，故
x_n+1+2x_n=(x₂+2)

 (n∈N*).
将上式对n求和得
S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1+

+…+

)=(x₂+2)(2－

)（n≥2）.
因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故
(x₂+2)(2－

)＜5（n≥2）.
因此

（n≥2）.
下证x₂≤

，若不然，假设x₂＞

，则由上式知，不等式
2^n－1＜


对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x₂≤

.
又x₂≥

，故x₂=

，所以

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．