已知数列满足,且对一切有,其中,(Ⅰ)求证对一切有，并求数列的通项公式；记，求数列的前项和;求证.

题文

已知数列

满足

,且对一切

有

,其中

, 
(Ⅰ)求证对一切

有

，并求数列

的通项公式；
（Ⅱ）记

，求数列

的前

项和

;
（Ⅲ）求证

.  题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）{ a_n}成等差数列，首项a₁=1，公差d=1，故a_n=n；
（Ⅱ）

；（Ⅲ）同解析。

解析

(Ⅰ)由ni=1

=S_n²，    (1)        由n＋1i=1

=S_n＋1²，       (2)
(2)－(1)，得

=(S_n+1+S_n)(S_n+1－S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1．
∵ a_n+1 >0，∴a_n＋1²－

=2S_n．           
由a_n＋1²－

=2S_n，及a_n²－a_n =2S_n－1 (n≥2)，
两式相减，得(a_n+1+ a_n)( a_n+1－a_n)= a_n+1+ a_n．
∵a_n+1+ a_n >0，∴a_n+1－a_n =1(n≥2)        
当n=1,2时，易得a₁=1，a₂=2，∴a_n+1－ a_n =1(n≥1)．
∴{ a_n}成等差数列，首项a₁=1，公差d=1，故a_n=n．
（Ⅱ）由

，得

。所以

，
当

时，

；
当

时，


，



即


（Ⅲ）nk=1

=nk=1

＜1＋nk=2 
＜１＋nk=2=


=1＋nk=2 (－)       
=1＋1＋

－

－＜2＋

＜3.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足,且对一切有,其中,(Ⅰ)求.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．