题文
（本小题满分14分）在数列
与
中，
，数列
的前
项和
满足
,
为
与
的等比中项，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求数列
与
的通项公式；
（Ⅲ）设
.证明
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
，
（Ⅱ）
，
（Ⅲ）证明见解析.
解析
本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分
（Ⅰ）解：由题设有
，
，解得
．由题设又有
，
，解得
．
（Ⅱ）解法一：由题设
，
，
，及
，
，进一步可得
，
，
，
，猜想
，
，
．
先证
，
．
当
时，
，等式成立．当
时用数学归纳法证明如下：
（1当
时，
，等式成立．
（2）假设
时等式成立，即
，
．
由题设，
①的两边分别减去②的两边，整理得
，从而
．
这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
对任何的
成立．
综上所述，等式
对任何的
都成立
再用数学归纳法证明
，
．
（1）当
时，
，等式成立．
（2）假设当
时等式成立，即
，那么
．
这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
对任何的
都成立．
解法二：由题设
①的两边分别减去②的两边，整理得
，
．所以
，
，
……
，
．
将以上各式左右两端分别相乘，得
，
由（Ⅰ）并化简得
，
．
止式对
也成立．
由题设有
，所以
，即
，
．
令
，则
，即
．由
得
，
．所以
，即
，
．
解法三：由题设有
，
，所以
，
，
……
，
．
将以上各式左右两端分别相乘，得
，化简得
，
．
由（Ⅰ），上式对
也成立．所以
，
．
上式对
时也成立．
以下同解法二，可得
，
．
（Ⅲ）证明：
．
当
，
时，
．
注意到
，故
．
当
，
时，
当
，
时，
．
当
，
时，
．
所以
．
从而
时，有
总之，当
时有
，即
．
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）在数列与中，，数列的.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
