题文
在等差数列
中，
，
，其中
是数列
的前
项之和，曲线
的方程是
，直线
的方程是
．
（1） 求数列
的通项公式；
（2） 当直线
与曲线
相交于不同的两点
，
时，令
，
求
的最小值；
（3） 对于直线
和直线外的一点P，用“
上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线
的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线
与直线
不相交，试以类似的方式给出一条曲线
与直线
间“距离”的定义，并依照给出的定义，在
中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线
的“距离”． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
的最小值为
；（Ⅲ）椭圆
到直线
的距离为
。
解析
（1）∵，∴
，又∵
，∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
。
（2）
，由题意，知
，即
， ∴
或
，即
或
，
即
或
时，直线
与曲线
相交于不同的两点。
，
∴
时，
的最小值为
。
（3）若曲线
与直线
不相交，曲线
与直线
间“距离”是：曲线
上的点到直线
距离的最小值。∵曲线
与直线
不相交时，
，即
，即
，∴
，
∵
时，曲线
为圆，∴
时，曲线
为椭圆。选
，
椭圆方程为
，
设椭圆上任一点
，它到直线
的距离
∴椭圆
到直线
的距离为
。 （椭圆
到直线
的距离为
）
考点
据考高分专家说，试题“在等差数列中，，，其中是数列的前项之和，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
