设集合W由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数M，使在只有5项的有限数列；试判断数列是否为集合W的元素；设是各项为正的

题文

（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列

构成：
①


②存在实数M，使

（n为正整数）
（I）在只有5项的有限数列




；试判断数列

是否为集合W的元素；
（II）设

是各项为正的等比数列，

是其前n项和，

证明数列

；并写出M的取值范围；
（III）设数列

且对满足条件的M的最小值M₀，都有

.
求证：数列

单调递增. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）

不是集合W中的元素，

是集合W中的元素.（II）

，且

（III）见解析

解析

（I）对于数列

，
取

显然不满足集合W的条件，①
故

不是集合W中的元素，                                                             …………2分
对于数列

，当

时，
不仅有




而且有

，
显然满足集合W的条件①②，
故

是集合W中的元素.                                                                      …………4分
（II）

是各项为正数的等比数列，

是其前n项和，



设其公比为q>0，


整理得







                                                                                               …………7分
对于


且


故

，且

                                                                …………9分
（III）证明：（反证）若数列

非单调递增，则一定存在正整数k，
使

，易证于任意的

，都有

，证明如下：
假设


当n=m+1时，由


而


所以


所以，对于任意的


显然

这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为

；
所以

与这题矛盾.
所以假设不成立，故命题得证.                                                            …………14分

考点

据考高分专家说，试题“（14分）设集合W由满足下列两个条件的数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．