已知数列具有性质P：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有

题文

已知数列

具有性质P：对任意

，


，

与

两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质P；
②数列0，2，4，6具有性质P；
③若数列A具有性质P，则

；
④若数列



具有性质P，则


其中真命题有A．4个B．3个C．2个D．1个 题型：未知 难度：其他题型

答案

B

解析

分析：根据数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．
解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的项，
①数列0，1，3中，a₂+a₃=1+3=4和a₃-a₂=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；
②数列0，2，4，6，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a₄-a₃=2是该数列中的项，故②正确；
③若数列A具有性质P，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，
而2a_n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a₁=0；故③正确；
④∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₁+a₃与a₃-a₁至少有一个是该数列中的一项，且a₁=0，
1°若a₁+a₃是该数列中的一项，则a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是该数列的项
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂
2°若a₃-a₁是该数列中的一项，则a₃-a₁=a₁或a₂或a₃
①若a₃-a₁=a₃同1°，
②若a₃-a₁=a₂，则a₃=a₂，与a₂＜a₃矛盾，
③a₃-a₁=a₁，则a₃=2a₁
综上a₁+a₃=2a₂，
故选B．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列具有性质P：对任意，，与两数中至.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．