题文
（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列
，如果
(
=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列
具有“
性质”。
不论数列
是否
具有“
性质”，如果存在与
不是同一数列的
，且
同
时满足下面两个条件：①
是
的一个排列
；②数列
具有“
性质”，则称数列
具有“变换
性质”。
（I）设数列
的前
项和
，证明数列
具有“
性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换
性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列
，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列
：1，2，3，…，
，某人已经验证当
时，
数列
具有“变换
性质”，试证明：当”
时，数
列
也具有“变换
性质”。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）证明见解析。（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，
数列
为3，2，1，5，4。
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
（III）证明见解析。
解析
（I）当
时，
…………1分
…………2分
又
。 …………3分
所以
是完全平方数，
数列
具有“P性质” …………4分
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”， …………5分
数列
为3，2，1，5，4 …………6分
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………7分
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” …………8分
（III）设
注意到
令
由于
，
所以
又
所以
即
…………10分
因为当
时，数列
具有“变换P性质”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得
都是平方数 …………11分
另外，
可以按相反顺序排列，
即排列为
使得
…………12分
所以1，2，
可以排列成
满足
都是平方数.
即当
时，数列A也具有“变换P性质”…………13分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）对于各项均为整数的数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
