题文
在各项均为正数的数列
中，前
项和
满足
。
(1)证明
是等差数列，并求这个数列的通项公式及前
项和的公式；
(2)在平面直角坐标系
面上，设点
满足
，且点
在直线
上，
中最高点为
，若称直线
与
轴、直线
所围成的图形的面积为直线
在区间
上的面积，试求直线
在区间
上的面积；
（3）若存在圆心在直线
上的圆纸片能覆盖住点列
中任何一个点，求该圆纸片最小面积． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
（3）
解析
（1）由已知得
①
故
②
②－①得
结合
，得
是等差数列 ……（2分）
又
时，
，解得
或
又
，故
……（4分）
（2）
即得点
设
，消去n，得
即直线C的方程为
……（7分）
又
是n的减函数
∴
为
中的最高点，且
又M3的坐标为（
，
）
∴C与x轴、直线
围成的图形为直角梯形
从而直线C在[
，1]上的面积为
……（9分）
（3）由于直线C：
上的点列Mn依次为
M1（1，1），M2（
，
），M3（
，
），……，Mn（
），
而
因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M（
，
） ……（12分）
又
所以最小圆纸片的面积为
……（14分）
考点
据考高分专家说，试题“在各项均为正数的数列中，前项和满足。(1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
