现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为2和0.2.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流经相邻两个观测点的过

题文

现有流量均为300

的两条河流A、B会合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为2

和0.2

.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流经相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100

的水量,即从A股流入B股100

水,经混合后,又从B股流入A股100

水并混合.问：从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01

（不考虑泥沙沉淀）？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01

．

解析

本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01

”．但直接建构这样的不等关系较为困难.为表达方便,我们分别用

来表示河水在流经第n个观测点时,A水流和B水流的含沙量．则

＝2

，

＝0.2

，且


．（*）
由于题中问题是针对两股河水的含沙量之差,所以我们不妨直接考虑数列

．
由（*）可得：



∴数列

是以

为首项,以

为公比的等比数列．
∴

．依题意,令

< 0.01，得

．
∴

．由

得

，所以，

．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01

．
【说明】本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．

考点

据考高分专家说，试题“现有流量均为300的两条河流A、B会合于.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．