．设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①②是与无关的常数.若是等差数列，是其前n项的和，，证明：；设数列的通项为，求的取值范围；设数列的

题文

．设集合

是满足下列两个条件的无穷数列

的集合：
①

     ②

 

是与

无关的常数.
（Ⅰ）若

是等差数列，

是其前n项的和，

，证明：

；
（Ⅱ）设数列

的通项为

，求

的取值范围；
（Ⅲ）设数列

的各项均为正整数，且

，试证

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）

≥7（Ⅲ）同解析

解析

（Ⅰ）设等差数列{

}的公差是

，则

，解得

所以

 ……………………3分
由

=－1＜0
得

适合条件①；……………………5分
又

，所以当

=4或5时，

取得最大值20，即

≤20，适合条件②．综上所述，

……………………7分
（Ⅱ）因为

，所以当n≥3时，

，此时数列

单调递减；当

=1，2时，

，即


因此数列

中的最大项是

，所以

≥7 ……………………12分
（Ⅲ）假设存在正整数

，使得

成立，
由数列

的各项均为正整数，可得

           
因为

………14分
由 

          
因为


依次类推，可得

    ……………………17分
又存在

，使

，总有

，故有

，这与数列（

）的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意

,都有

成立.………………18分

考点

据考高分专家说，试题“．设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．