题文
（本小题满分12分）已知点列
、
、…、
（n∈N）顺次为一次函数
图像上的点，点列
、
、…、
（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中
（0＜a＜1），对于任意n∈N，点
、
、
构成一个顶角的顶点为
的等腰三角形。
（1）数列
的通项公式，并证明
是等差数列；
（2）证明
为常数，并求出数列
的通项公式；
（3）上述等腰三角形
中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
(nÎN)，证明见解析
（2）证明见解析，
（3）存在直角三形，此时a的值为
、
、
.
解析
（1）(nÎN),∵yn+1-yn=
,∴{yn}为等差数列 ………………4分
（2）因为
与
为等腰三角形.
所以
，两式相减得
。………………7分
注：判断
得2分，证明得1分
∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差为2的等差数列，………………6分
∴
………………10分
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2
=2(
)Þxn+1-xn=2(
)
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2(
) Þa=
(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=
，取n=3，得a=
，若n≥5，则(*)无解； ………………14分
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2(
)Þa=
(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，
取n=2，得a=
,若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为
、
、
. ………………18分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知点列、、…、（n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
