题文
在数列
中，
，且对任意
.
，
，
成等差数列，其公差为
。
（Ⅰ）若
=
，证明
，
，
成等比数列（
）
（Ⅱ）若对任意
，
，
，
成等比数列，其公比为
。 证明：对任意
,
,有
题型：未知 难度：其他题型
答案
解析
（Ⅰ）证明：由题设，可得
。
所以
=
=2k(k+1)
由
=0，得
于是
。
所以
成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由
成等差数列，及
成等比数列，得
当
≠1时，可知
≠1，k
从而
所以
是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明：
，
，可得
，从而
=1.由（Ⅰ）有
所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m(
)
若m=1,则
.
若m≥2，则
+
所以
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（
）
所以
从而
···
综合（1）（2）可知，对任意
,
,有
证法二：（i）证明：由题设，可得
所以
由
可知
。可得
，
所以
是等差数列，公差为1。
（ii）证明：因为
所以
。
所以
，从而
，
。于是，由（i）可知所以
是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
=
，故
。
从而
。
所以
，由
，可得
。
于是，由（i）可知
以下同证法一。
考点
据考高分专家说，试题“在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
