正实数数列中,,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.

题文

正实数数列

中,

,且

成等差数列.
(1) 证明数列

中有无穷多项为无理数；
(2)当

为何值时，

为整数，并求出使

的所有整数项的和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（

）时，

为整数；

解析

考查等差数列及数列分组求和知识
证明：（1）由已知有：

，从而

，
方法一：取

，则

（

）
用反证法证明这些

都是无理数.
假设

为有理数，则

必为正整数，且

，
故

.

,与

矛盾，
所以

（

）都是无理数，即数列

中有无穷多项为无理数;
方法二：因为

，当

的末位数字是

时，

的末位数字是

和

，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时

不是有理数，因这种

有无穷多，故这种无理项

也有无穷多．
(2) 要使

为整数，由

可知：


同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有

或


当

时，有

（

）
又

必为偶数，所以

（

）满足


即

（

）时，

为整数；
同理

有

（

）
也满足

，即

（

）时，

为整数；
显然

和

（

）是数列中的不同项；
所以当

（

）和

（

）时，

为整数；
由

（

）有

，
由

（

）有

.
设

中满足

的所有整数项的和为

，则

考点

据考高分专家说，试题“正实数数列中,,且成等差数列.(1) 证.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．