对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的阶差分数列，其中，且．已知数列的通项公式，试证明是等差数列；若数列

题文

（本小题满分13分）对于数列

，规定数列

为数列

的一阶差分数列，其中

；一般地，规定

为

的

阶差分数列，其中

，且

．
（1）已知数列

的通项公式

，试证明

是等差数列；
（2）若数列

的首项

，且满足

，求数列

及

的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断

是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

, 

时,

存在最小值，其最小值为-28.

解析

.解：(1)当

时，

，则


当

时 ，



，则




所以，数列

是以首项

，公比为

的等比数列，从而


(2)



 


当

时，








      
又

满足，




（3）








       ① 
而   

       ②
①-②得：








 
（8，9，10）20．（1）依题意：

，





 

数列

是首项为1，公差为5的等差数列.
(2)由

得

，


，

，


， 

.
当

时，








当n=1时，

也满足上式.


(3)∵

,令

，则


,则当

时，函数

单调递减； 当

时，函数

单调递增；而


∴

,即

时,

存在最小值，其最小值为-28.

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）对于数列，规定数列为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．