已知数列中，，，试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；在数列{}中，求出所有连续三项成等差数列的项；在数列

题文

（本题满分15分）已知数列

中，

，

（n∈N*），


  （1）试证数列

是等比数列，并求数列{

}的通项公式；
（2）在数列{

}中，求出所有连续三项成等差数列的项；
（3）在数列{

}中，是否存在满足条件1＜r＜s的正整数r ，s ，使得b₁，b_r，b_s成等差数列？若存在，确定正整数r，s之间的关系；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列
（3）存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列

解析

   解：（1）证明: 由

，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，
∴



,
∴数列

是首项为

,公比为

的等比数列．………………3分
∴

, 即

，
∴

…………………………………………………………………………5分
（2）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即

，
即

＝4

………………………………………………………………7分
若k为偶数，则

＞0，4

＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。…………………………………………………………8分
若k为奇数，则k≥3，∴

≥4，而4

＝4，所以，当且仅当k＝3时，
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。
综上所述，在数列{b_n}中，有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列。…………10分
（3）要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，
即3＋

＝2[

],即

， ①
（ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端

＝0，右端

＝

，要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立。又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以，当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b₁，b_r，b_s成等差数列。……………………………………………………………13分
（ⅱ）若s≥r＋2时，在①式中，左端

≥

＝

＞0，右端

≤0，∴当s≥r＋2时，b₁，b_r，b_s不成等差数列。
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列。…15分

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．