某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场

题文

（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 =" a" an，cn + 1 =" an" + b an2 （其中a、b为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量

逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）an + 1 =" 2an" –

an2 (n∈N*)
（2）略（3）an =" 2" – 2

解析

（1）依题意：an + 1 =" bn" + 1 + cn + 1 =" a" an + an + b an2，
则a2 =" a" a1 + a1 + b a12   ∴a + 1 + b =

           ①
则a3 =" a" a2 + a2 + b a22  ∴

       ②
解①②得a = 1，b = –

 从而an + 1 =" 2an" –

an2 (n∈N*)    ………………………5分
（2）证法（Ⅰ）由于an + 1 =" 2an" –

an2 = –

(an – 2)2 + 2≤2．         
但an + 1≠2，否则可推得a 1=" a" 2= 2与a 1= 1，a2 = 1.5矛盾．故an + 1＜2 于是an

＜2
又an + 1– an= –

an2 + 2an – an = –

an (an – 2) ＞0，
所以an + 1＞an 从而an＜an + 1＜2             …………………………………9分
证法（Ⅱ）由数学归纳法
（i）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1＜a2＜2成立
（ii）假设n = k时，  ak＜ak + 1＜2成立．
由于函数f (x) = –

x2 + 2x = –

(x – 2)2 + 2在[0，2]上为增函数，
则f (ak) ＜f (ak + 1) ＜f (2)即

ak (4 – ak) ＜

ak + 1(4 –ak + 1) ＜

×2×(4 – 2)
即 ak + 1＜ak + 2＜2成立． 综上可得n∈N*有an＜an + 1＜2 …………………………9分
（3）由an + 1 =" 2an" –

an2得2 (an + 1– 2) =" –" (an – 2)2 即(2 – an + 1) =

(2 – an)2
又由（2）an＜an + 1＜2可知2 – an + 1＞0，2 – an＞0  
则lg (2 – an + 1) =" 2" lg (2 – an) – lg 2  ∴lg (2 – an +1) – lg2 =" 2[lg" (2 – an) – lg2]
即{lg (2 – an + 1) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a1) – lg 2 =" –lg" 2
故lg (2 – an) – lg 2 =" (–lg" 2)·2n – 1 ∴an =" 2" – 2

(n∈N*)为所求………13分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）某企业的产品以往专销.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．