由函数y=f确定数列{an}，an=f，函数y=f的反函数y="f" －1能确定数列{bn}，bn=" f" –1，若对于任意n&

题文

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y="f" ^－1（x）能确定数列{b_n}，b_n=" f" ^–1（n），若对于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”.
（1）若函数f（x）=

确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正数数列{c_n}的前n项之和S_n=

（c_n+

）.写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=

，D_n是数列{d_n}的前n项之和，且D_n>log _a （1－2a）恒成立，求a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=


（2）S_n=

，证明略
（3）0–1

解析

解：（1）由题意的：f ^－1（x）=

= f（x）=

，所以p =－1，…………2分
所以a_n=

……………………………………………………………………3分翰林汇
（2）因为正数数列{c_n}的前n项之和S_n=

（c_n+

），
所以c₁=

（c₁+

），解之得：c₁=1，S₁=1……………………………………4分
当n ≥ 2时，c_n = S_n–S_n–1，所以2S_n = S_n–S_n–1 +

，……………………5分
S_n +S_n–1 =

，即：

= n，……………………………………7分
所以，

= n–1，

= n–2，……，

=2，累加得：


=2+3+4+……+ n，………………………………………………9分


=1+2+3+4+……+ n =

，
S_n=

………………………………………………………………10分
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，
当n≥2时，设d_n=

=

=2（

），…………………13分
由D_n是{d_n}的前n项之和，
D_n=d₁+d₂+……+d_n=2[1+（

）+（

）+（

）+……+（

）]
=2（2–

）………………………………………………………………………………16分
因为D_n>log _a （1–2a）恒成立，即log _a （1–2a）恒小于D_n的最小值，
显然D_n的最小值是在n=1时取得，即（D_n）_min=2，
所以log _a （1–2a）<2，1–2a>0，所以0–1…………………………………18分

考点

据考高分专家说，试题“由函数y=f（x）确定数列{an}，an.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．