(本小题满分12分)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋

题文

(本小题满分12分)
已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相等，且a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－1a_n＝8n对任意的n∈N^*都成立，数列{b_n＋1－b_n}是等差数列.
(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
(2)是否存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1)？请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝2^4－n(n∈N^*)，b_n＝n²－7n＋14(n∈N^*).
（2）不存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1).理由略

解析

解：(1)已知a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－1a_n＝8n(n∈N^*).①
n≥2时，a₁＋2a₂＋2²a₃＋…＋2^n－2a_n－1＝8(n－1)(n∈N^*).②
①－②得2^n－1a_n＝8，解得a_n＝2^4－n，在①中令n＝1，可得a₁＝8＝2^4－1，
所以a_n＝2^4－n(n∈N^*).(4分)
由题意b₁＝8，b₂＝4，b₃＝2，所以b₂－b₁＝－4，b₃－b₂＝－2，
∴数列{b_n＋1－b_n}的公差为－2－(－4)＝2，
∴b_n＋1－b_n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n²－7n＋14(n∈N^*).(8分)
(2)b_k－a_k＝k²－7k＋14－2^4－k，当k≥4时，f(k)＝(k－)²＋－2^4－k单调递增，
且f(4)＝1，所以k≥4时，f(k)＝k²－7k＋14－2^4－k≥1.
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以，不存在k∈N^*，使得b_k－a_k∈(0,1).(12分)

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知数列{an}的前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．